Aljabar Boolean. aljabar logika. Unsur logika matematika

Ing donya dina iki kita wis tambah akeh nggunakake macem-macem mesin lan Gadgets. Lan ora mung nalika iku perlu kanggo aplikasi kekuatan secara harfiah superhuman: mindhah mbukak kanggo mundhakaken menyang dhuwur, dig trench dawa lan jero, etc. Cars dina ngumpulake robot, pangan wis masak Multivarki lan petungan aritmetika dhasar gawé kalkulator ... More lan liyane asring kita krungu tembung "Boolean aljabar". Mbok wektu wis teka mangertos peran manungsa ing tumitah robot lan mesin kemampuan kanggo ngatasi ora mung matematika, nanging uga masalah logis.

logika

Ing logika Greek - sistem dhawuh pamikiran sing nggawe hubungan antarane kahanan tartamtu lan ngidini sampeyan kanggo nggawe inferences adhedhasar pemanggih lan prakiraan. Cukup kerep, kita takon saben liyane: "Iku logis kanggo" reply nandheske pemanggih kita utawa Kritik Sepur pamikiran. Nanging proses ora mandheg ana: kita terus diajak.

Kadang nomer kahanan (input) dadi gedhe, lan hubungan ing antarané wong-wong mau supaya bingung lan Komplek sing otak manungsa ora bisa "Digest" kabeh bebarengan. Sampeyan bisa uga kudu luwih saka siji sasi (minggu, taun) kanggo pangerten apa jaman. Nanging urip modern ora maringi kita interval wektu iki kanggo pancasan. Lan kita Resor kanggo sepindah komputer. Lan iku kene sing ana aljabar lan logika, karo hukum lan situs. Sawise ngundhuh kabeh data asli, kita ngidini komputer kanggo ngenali kabeh sesambetan, kanggo ngilangke contradictions lan kanggo nemokake solusi puas.

Matematika lan logika

Famous Gotfrid Vilgelm Leybnits ngrumusaken konsep "logika matématika", kang tugas padha gampang mangertos mung bunder cilik sarjana. Saka kapentingan tartamtu arah ora nimbulaké, lan menyang tengah abad XIX logika matématika dikenal dening sawetara.

Kapentingan gedhe ing komunitas èlmiah wis nyebabake regejegan kang kebangsaané Inggris Dzhordzh Bul ngumumaké niaté kanggo netepake cabang matématika, ora gadhah pancen ora nganggo praktis. Kaya kang kita mangerteni saka sajarah, ing wektu iki aktif ngembangaken produksi industri, kita dikembangaké kabeh jinis mesin tambahan, t. E. Kabeh pamanggihan èlmiah wis orientasi praktis.

Ahead, kita wong sing aljabar Boolean - paling digunakake ing donya dina iki bagéan saka matématika. Dadi pitakonan Panjenengan Buhl ilang.

Dzhordzh Bul

Pribadine penulis pantes manungsa waé khusus. Malah diwenehi Kasunyatan bilih ing wong liwat tansaya munggah sadurunge kita, isih kudu nyatet sing ing 16 taun John. Buhl wonten ing sekolah désa lan 20 taun kabuka sekolah dhewe ing Lincoln. Mathematician sampurna nguwasani limang basa manca, lan ing kalodhangan, maos karya Newton lan Lagrange. Lan kabeh iki - ing anak pegawe biasa kang!

Ing taun 1839, Buhl dikirim makalah pisanan ngelmu ing Cambridge matématika Journal. Scientist nguripake 24 taun. karya Boole iku anggota supaya kasengsem ing Royal Society, ing 1844 piyambakipun pikantuk medali kanggo kontribusi kanggo pangembangan saka analisis matématika. A sawetara makalah diterbitake ing kang unsur logika matématika, matématika diijini enom kanggo njupuk jabatan profesor ing College of Langkawi Langkawi padha diterangake. Kelingan sing ing pendidikan banget Boole ora.

idea

Ing asas, aljabar Boolean banget prasaja. Ana statements (logis ungkapan), saka titik tampilan saka matématika, mung bisa ditetepake ing rong tembung: "bener" utawa "palsu". Contone, wit ing Bloom spring - bebener, ing mangsa panas Karun Salju - goroh. Hayuning matématika iku ora strictly perlu kanggo nggunakake mung nomer. Kanggo pengadilan aljabar cukup pas sembarang statements karo makna unik.

Mangkono, ing aljabar logika bisa digunakake secara harfiah nang endi wae: ing jadwal lan nulis instruction, analisis informasi bertentangan bab acara lan netepake ing urutan saka tumindak. Wangsulan: Bab ingkang paling penting - éling sing iku ora Matter carane kita nemtokake bebener utawa falsity statements. Saka iki "carane" lan "kok" sampeyan kudu nglirwakake. Apa inggih punika mung statement saka kasunyatan: bebener iku goroh.

Mesthi, program fungsi paling penting saka aljabar logika sing direkam karo pratandha lan simbol cocok. Lan sinau mau - iku tegese kanggo sinau basa manca anyar. Boten mokal.

konsep dhasar lan ukara

Tanpa arep menyang ambane, kita hasil karo terminologi. Dadi, aljabar Boolean presupposes:

• statements;
• operasi logis;
• fungsi lan hukum.

Statements - sembarang expression akur sing bisa ditafsiraké loro-rego. Lagi ditulis minangka nomer (5> 3) utawa dirumuske tembung menowo (gajah - mamalia gedhé). Ing kasus iki, tembung "gulu jerapah kang ora" uga nduweni hak kanggo ana, mung aljabar Boolean netepake iku minangka "goroh."

Kabeh statements kudu unambiguous, nanging padha bisa dadi dhasar utawa senyawa. nggunakake anyar mbendel logis. E. Ing senyawa statements aljabar pengadilan kawangun dening Kajaba saka operasi logika SD.

operasi aljabar Boolean

Kita wis elinga yen operasi ing aljabar saka pengadilan - logis. Mung minangka aljabar saka angka nggunakake operasi aritmetika kanggo nambah, nyuda, utawa mbandhingaké nomer, unsur logika matématika ngidini kanggo nggawe statements Komplek, kanggo mbantah utawa kanggo ngetung asil Final.

operasi Logic kanggo formalization lan gamblang ditulis dening rumus, menowo kanggo kita ing salebetipun aritmetika. Properties pepadhan aljabar Boolean wis bisa kanggo ngrekam lan ngetung dingerteni. operasi logis biasane direkam dening meja bebener. sawijining unsur netepake kolom lan operasi komputerisasi kang wis dileksanakake ing wong, lan larik nuduhake asil petungan.

logika dhasar saka tumindak

Paling umum ing operasi aljabar Boolean sing negation (ora), lan logis lan lan UTAWA. Dadi bisa kanggo njlèntrèhaké prakteke kabeh langkah-langkah ing pengadilan aljabar. Kita sinau ing rinci saben telung operasi.

The negation (ora) wis Applied kanggo mung siji unsur (operand). Mulane, operasi iki disebut negation unary. Kanggo ngrekam konsep "ora A" nggunakake simbol kuwi: ¬A, utawa !. Ing wangun tabular iku katon kaya iki:

Fungsi ngaku khas statement kuwi: yen A iku bener, banjur A - iku palsu. Contone, rembulan revolves ngubengi bumi - bebener; Bumi revolves watara rembulan - ngapusi.

pingan logis dan

Logis lan operasi diarani magepokan a. Apa iku tegese? Sepisanan, sing bisa Applied kanggo loro operands, IE, aku - .. operasi binar. Sareh, iku mung ing cilik saka bebener loro operands (loro A lan B) wis bener lan ekspresi dhewe. Wulang Bebasan ing, "Sabar lan gaweyan sethitik" nggadahi sing mung faktor loro bisa bantuan wong ngrampungake karo kangelan.

simbol digunakake kanggo ngrekam: A∧B, A⋅B utawa A && B.

Magepokan iku padha pingan ing salebetipun aritmetika. Kadang lan ngomong - pingan logis. Yen Multiply unsur larik saka meja, kita njaluk asil padha pikiran logis.

Disjunction punika logis UTAWA operasi. Iku bener yen ing paling siji saka statements bener (salah siji A utawa B). Ana tulisan kaya iki: A∨B, A + B utawa A || B. Tabel bebener kanggo operasi iki:

Disjunction Saliyane aritmetika padha. operasi Saliyane logis wis mung siji watesan: 1 + 1 = 1. Nanging kita elinga ing format digital diwatesi kanggo logika matématika 0 lan 1 (ngendi 1 - bebener, 0 - palsu). Contone, ing statement "ing museum sing bisa ndeleng masterpiece utawa golek perusahaan apik" tegese apa sampeyan bisa ndeleng karya seni, lan iku bisa kanggo ketemu wong menarik. Ing wektu sing padha, ora Aturan metu kamungkinan saka kasenengan simultaneous saka loro acara.

Fungsi lan hukum

Dadi, kita wis ngerti apa operasi logis nggunakake aljabar Boolean. Fungsi njlèntrèhaké kabeh sifat unsur logika matématika, lan ngidini kita kanggo menakake statements senyawa kompleks. Paling cetha lan prasaja jek property larangan saka operasi asale. Miturut asale mangertos XOR, akibat lan padanan. Kita wis maca mung karo operasi dhasar, lan banjur bisa uga mung nimbang.

Associativity tegese ing statements kayata "loro A lan B, lan B 'urutan listing saka operands ora ketompo. rumus iki ditulis minangka nderek:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

Nalika sampeyan bisa ndeleng, iki ora unik kanggo magepokan nanging disjunction a.

Commutativity udur sing asil saka magepokan utawa disjunction ora gumantung item iki dianggep ing awal ing:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

Distributivity ngidini nyampekano informasi kelompok ing ungkapan logis Komplek. Aturan padha menyang parenthesis opening ing pingan lan Kajawi aljabar:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

situs Unit lan ngeruk, kang bisa dadi salah siji saka operands uga padha karo aljabar pingan karo nol utawa siji, lan Kajaba saka unit sing:

A∧0 = 0, A∧1 = A; A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotency nyariosaken dhateng kita bilih yen relatif loro operands witjaksono asil operasi padha, sampeyan bisa "uncalan" ing operands complicate pertimbangan keluwihan. Lan magepokan lan disjunction operasi sing idempotent.

B∧B = B; B∨B = B.

Acquisition uga ngijini kita kanggo menakake rumus. Panyerepan nyariosaken bilih nalika expression wis Applied kanggo salah siji operand, operasi liyane karo unsur padha saka asil operand wis nresep operasi.

A∧B∨B = B; (A∨B) ∧B = B.

urutan operasi

Ing urutan operasi punika ageng wigati. Bener, minangka kanggo aljabar, ana fungsi prioritas sing nggunakake aljabar Boolean. Formula bisa simplified tundhuk pinunjul saka operasi. Peringkat paling pinunjul kanggo dijarno, hakekat iku urutan ing ngisor iki:

1. nyélaki.

2. magepokan.

3. Ing disjunction, XOR.

4. Sarehne, padanan.

Nalika sampeyan bisa ndeleng, mung ing negation saka magepokan lan ora duwe prioritas witjaksono. A prioritas saka disjunction lan XOR witjaksono, uga prioritas saka akibat lan padanan.

Fungsi saka akibat lan padanan

Kita wis ngandika, saliyane kanggo operasi logis dhasar logika matematika lan teori kalkulus nggunakake asale. Sing paling kerep akibat lan padanan.

Sarehne utawa akibat logis - statement, kang siji tumindak iku kondisi, lan liyane - ing asil menehi implementasine. Ing tembung liyane, proposal iki karo pretext saka "yen ... banjur". "Sasampunipun nedha bengi rawuh qiyamat ing." E. Kanggo nyopir kanggo tightened ing gunung sled. Yen ora ana kepinginan kanggo mindhah mudhun saka ing gunung, banjur seret sled ora perlu. Wis ditulis mangkono: A → B utawa A⇒B.

Padanan nggadahi efek net dumadi mung nalika loro operands sing bener. Contone, wengi menehi cara kanggo dina banjur (lan mung banjur), nalika srengenge mundhak liwat cakrawala. Ing basa logika matématika iki statement ditulis A≡B, A⇔B, A == B.

hukum aljabar Boolean

Aljabar pangadilan develops, lan akeh ilmuwan kasengsem kanggo ngramu hukum anyar. Ingkang paling misuwur sing dianggep postulat matématikawan Scottish O. De Morgan. Panjenenganipun ngeweruhi lan marang definisi saka situs kayata negation cedhak, lan ugi pindho negatif.

Close ngaku tabet menawa sadurunge parenthesis ora nolak: ora (A utawa B) A = ora utawa B. ora

Nalika operand wis rek, preduli saka sawijining Nilai, ngomong bab Saliyane:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

Lan pungkasanipun, ing negation pindho dhewe menehi kompensasi. Ie sadurunge salah siji negation operand katon utawa tetep mung siji.

Carane ngatasi tes

Logic nggadahi mrasajakké predetermined pepadhan. Kaya ing aljabar Lie, iku perlu kanggo maximally nggampangake kondisi pisanan (kanggo njaluk nyisihaken saka operasi input rumit, lan karo wong-wong mau), banjur miwiti looking for a jawaban sing bener.

Apa apa kanggo menakake? Convert kabeh asale ing operasi prasaja. Banjur miyak kabeh kelompok (utawa kosok balene, kanggo nggawe kelompok kanggo ngurangi unsur iki). Ing langkah sabanjure arep nggunakake situs aljabar Boolean ing laku (sifat panyerepan nul lan siji, lan t.).

Wekasanipun, rumus ngirim kalebu nomer minimal unknowns, digabungake karo operasi prasaja. Cara paling gampang kanggo katon kanggo solusi, yen sampeyan wis nggawe nomer akeh negatives cedhak. Banjur jawaban bakal pop munggah kaya dhewe.