The integral indefinite. Etungan saka integral indefinite

Salah bagean dhasar analisis matématika punika kalkulus integral. Jembar lapangan banget saka sudhut obyek, endi pisanan - iku indefinite integral. Posisi stands minangka tombol sing isih ing SMA marang nomer nambah saka prospek lan kesempatan, kang nggambaraké matématika luwih.

katon

Ing kawitan marketing, misale jek bener integral kanggo modern, topikal, nanging ing laku iku dadi metu sing wis padha bali ing 1800 SM. Home kanggo resmi dianggep Mesir minangka durung tekan kita bukti sadurungé saka sawijining orane. Iku amarga lack of informasi, kabeh nalika dipanggonke mung minangka kedadean. Panjenenganipun sepisan maneh nandheske ing tingkat pangembangan ngelmu saka bangsa sing kaping. Akhire, karya ditemokaké ing matématikawan Yunani kuna, partner saka abad SM 4. Kang njelasaken cara sing digunakake endi indefinite integral, pet ingkang volume utawa wilayah saka wangun lengkung anèh (telung dimensi lan loro-dimensi bidang, mungguh). pitungan iki adhedhasar prinsip saka divisi saka tokoh nèng komponen kaétung kasedhiya yen volume (wilayah) wis dikenal kanggo wong-wong mau. Swara wektu, cara wis thukul, Archimedes digunakake kanggo nemokake area Parabola a. petungan padha ing wektu sing padha kanggo tumindak pakaryan ing China kuno, ngendi padha rampung sawijining saka fellow ilmu Yunani.

pembangunan

Temonan sabanjuré ing abad XI Masehi wis dadi karya saka sarjana Arab "titian" Abu Ali al-Basri, sing di-push wates ing wis dikenal, padha asalé saka rumus integral kanggo ngitung jumlah saka jumlah lan derajat saka pisanan papat, nglamar iki dikenal kanggo kita cara prabawa.
Pikiran dina sing disenengi wong dening Mesir kuna digawe monumen sange tanpa khusus pribadi, kajaba sing saka tangane dhewe, nanging wis ora daya ilmuwan mad ing wektu ora kurang Ajaib? Dibandhingake karo kaping saiki urip koyone meh primitif, nanging kaputusan saka integral indefinite rikat nang endi wae lan digunakake ing laku kanggo pembangunan luwih.

Ing langkah sabanjure njupuk Panggonan ing abad XVI, nalika matématikawan Italia Cavalieri nggawa cara bagéan, kang ngangkat munggah Per Ferma. Iki loro pribadine pondhasiné kanggo kalkulus integral modern, kang dikenal ing wayahe. Disambungake ing konsep saka turunan lan integral, kang padha sadurunge katon minangka Unit poto-sing. Miturut lan gedhe, matematika wektu sing ana partikel njerone temonan ana dening piyambak, karo nggunakake winates. Way kanggo nyawiji lan golek umum lemah mung bener ing wayahe, thanks kanggo wong, modern analisis matématika kagungan kesempatan kanggo tuwuh lan berkembang.

Kanthi wacana wektu ngganti kabeh lan simbol integral uga. Miturut lan gedhe, dipundadosaken ilmuwan sing dhewe ing cara, contone, Newton digunakake lambang alun, kang sijine fungsi kaintegralaken, utawa mung sijine bebarengan. Target dumugi abad XVII, nalika pituduh kanggo kabèh téori ilmuwan analisis matématika Gotfrid Leybnits ngenalaken dening karakter kuwi menowo kanggo kita. Elongated "S" bener adhedhasar huruf iki saka alfabet Romawi, wiwit nyukani arti jumlah saka primitives. Jeneng integral ing dijupuk thanks kanggo Jakob Bernoulli, sawise 15 taun.

Definisi formal

The integral indefinite gumantung definisi primitif, supaya kita nimbang ing Panggonan pisanan.

Dx - fungsi kuwalik saka turunan, ing laku diarani primitif. Yen: fungsi primitif saka d - iku fungsi D, kang turunan v <=> V '= v. Search primitif kanggo ngetung ing integral indefinite, lan proses dhewe diarani integrasi.

contone:

Fungsi s (y) = y ^3, lan S sawijining primitif (y) = (y ^4/4).

Himpunan kabéh primitives fungsi - iki minangka integral indefinite, tetenger minangka nderek: ∫v (x) DX.

Dening kabecikan saka kasunyatan sing V (x) - mung sawetara fungsi asli primitif, expression ngemu: ∫v (x) DX = V (x) + C, ngendi C - pancet. Ing kasepakatan pancet nuduhake konstanta sembarang, wiwit turunan sawijining nul.

situs

Sifat-sifat duweni dening integral indefinite, ateges adhedhasar definisi lan sifat asale.
Coba nilai tombol:

• turunan integral saka primitif primitif dhewe plus kasepakatan pancet C <=> ∫V '(x) DX = V (x) + C;
• turunan saka integral saka fungsi iku fungsi asli <=> (∫v (x) DX) '= v (x);
• pancet dijupuk metu saka ing tandha integral <=> ∫kv (x) DX = k∫v (x) DX, ing pundi k - punika kasepakatan;
• integral, kang dijupuk saka jumlah saka identik witjaksono menyang jumlah saka integral <=> ∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

Ing loro pungkasan bisa rampung yen integral indefinite punika linear. Amarga iki, kita kudu: ∫ (kv (y) dy + ∫ LW (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

Kanggo mirsani mbenakake solusi integral indefinite.

Sampeyan kudu golek ∫ integral (3sinx + 4cosx) DX:

• ∫ (3sinx + 4cosx) DX = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Saka conto ing kita bisa nganakke sing ora ngerti carane ngatasi integral indefinite? Mung golek kabeh primitives! Nanging search for prinsip rembugan ing ngisor iki.

Metode lan Conto

Supaya kanggo ngatasi integral, sampeyan bisa Resor kanggo metode:

• siap kanggo njupuk kauntungan saka meja;
• nggabungaken dening bagean;
• Integrasi kanthi ngganti global ing;
• summing munggah ing tandha diferensial ing.

tabel

Paling prasaja lan nyenengake cara. Ing wayahe, analisis matématika bisa gumunggung tabel cukup jembar, kang ditulis metu dhasar rumus saka integral indefinite. Ing tembung liyane, ana Cithakan asalé nganti sampeyan lan sampeyan mung bisa njupuk kauntungan saka wong-wong mau. Punika dhaptar posisi Tabel utama, kang bisa katampil sakbenere kabeh Kayata, wis solusi:

• ∫0dy = C, ngendi C - pancet;
• ∫dy = y + C, ngendi C - pancet;
• ∫y ⁿ dy = (y ^{n + 1)} / (n + 1) + C, ngendi C - pancet, lan n - nomer beda saka persatuan;
• ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, ngendi C - pancet;
• ^{∫e y dy = e y + C} , ngendi C - pancet;
• ^{∫k y dy = (k y /} ln k) + C, ngendi C - pancet;
• ∫cosydy = siny + C, ngendi C - pancet;
• ∫sinydy = -cosy + C, ngendi C - pancet;
• ∫dy / beyo ² y = tgy + C, ngendi C - pancet;
• ∫dy / dosa ² y = -ctgy + C, ngendi C - pancet;
• ∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C, ngendi C - pancet;
• ∫chydy = isin + C, ngendi C - pancet;
• ∫shydy = Casa del Mar + C, ngendi C - pancet.

Yen perlu, nggawe saperangan saka langkah mimpin integrand kanggo tampilan tabular lan seneng kamenangan. CONTO: ∫cos (5x -2) DX = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x dosa (5x - 2) + C.

Miturut kaputusan iku cetha sing contone integrand Tabel kurang multiplier 5. Kita nambah ing podo karo nikelaken iki dening 1/5 kanggo expression general ora ngganti.

Integrasi dening Parts

Coba loro fungsi - z (y) lan x (y). Padha kudu terus-terusan differentiable ing domain sawijining. Ing siji situs diferensiasi kita duwe: d (xz) = xdz + zdx. Nggabungaken loro-lorone, kita njaluk: ∫d (xz) = ∫ (xdz + zdx) => ZX = ∫zdx + ∫xdz.

Rewriting rumus asil, kita njaluk rumus, kang nggambaraké cara integrasi dening bagean: ∫zdx = ZX - ∫xdz.

Apa iku perlu? Kasunyatan sing sawetara conto iku bisa menakake, supaya dadi ngomong, kanggo ngurangi ∫xdz ∫zdx, yen terakhir wis cedhak karo wangun tabular. Uga, rumus iki bisa digunakake luwih saka sepisan, kanggo asil optimal.

Carane ngatasi integral indefinite cara iki:

• perlu kanggo ngetung ∫ (s + 1) e ^2S ds

∫ (x + ^{1) e 2S ds = {z =} s + 1, DZ = ds, y = 1 ^{/ 2e 2S, dy = e 2x} ds} = ((s + 1) e ^2S) / 2-1 / 2 ∫e ^2S DX = ((s + 1) ^{2S e)} / 2-e ^2S / 4 + C;

• kudu ngetung ∫lnsds

∫lnsds = {z = lns, DZ = ds / s, y = s, dy = ds} = slns - ∫s x ds / s = slns - ∫ds = slns -s + C = s (lns-1) + C.

Ngganti maneko

asas iki mecahaken integral indefinite ora kurang ing dikarepake saka loro sadurungé, sanadyan rumit. Cara sing minangka nderek: Ayo V (x) - integral saka sawetara fungsi v (x). Ing acara sing ing dhewe integral ing Conto slozhnosochinenny rawuh, iku kamungkinan kanggo njaluk bingung lan mudhun ing solusi path salah. Kanggo supaya owah-owahan laku iki saka global x kanggo z, kang expression general visual simplified nalika ngramut z gumantung x.

Ing istilah matematika, iki minangka nderek: ∫v (x) DX = ∫v (y (z)) y '(z) DZ = V (z) = V (y -1 (x)), ngendi x = y ( z) - substitusi. Lan, mesthi, fungsi kuwalik z = y ^-1 (x) kanthi nggambaraken sesambetan lan hubungan kemungkinan. cathetan penting - DX diferensial kudu diganti nganggo DZ diferensial anyar, wiwit owah-owahan saka global ing integral indefinite melu ngganti iku nang endi wae, ora mung ing integrand ing.

contone:

• kudu golek ∫ (s + 1) / (s ² + 2S - 5) ds

Aplikasi substitusi z = (s + 1) / (s ² + 2S-5). Banjur DZ = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (s + 1) ds = DZ / 2. Akibaté, ing expression ngisor, kang gampang banget kanggo ngetung:

∫ (s + 1) / (s ² + 2S-5) ds = ∫ (DZ / 2) / z = 1 / 2LN | z | + C = 1 / 2LN | s ² + 2S-5 | + C;

• sampeyan kudu golek integral ∫2 ^{e s} DX

Kanggo ngatasi mbaleni nulis ing wangun ing ngisor iki:

^{∫2 e s ds = ∫ (} 2e) s ds.

We ndudohke dening = 2e (panggantos saka pitakonan langkah iki ora, isih s), kita menehi kita ketoke rumit integral kanggo wangun tabular dhasar:

^{∫ (2e) s ds = ∫a} s ds = a s / lna + C = (2e) s / ln (2e) + C = 2 ^{e s} / ln (2 + lne) + C = 2 ^{e s} / (LN2 + 1) + C.

Summing munggah tandha diferensial

Miturut lan gedhe, cara iki saka integral indefinite - ing saudara kembar saka asas saka owah-owahan saka global, nanging ana sing beda ing proses registrasi. Ayo kita nimbang ing liyane rinci.

Yen ∫v (x) DX = V (x) + C lan y = z (x), banjur ∫v (y) dy = V (y) + C.

Sanalika kita kudu ora lali transformasi integral ora pati penting, antarane kang:

• DX = d (x + a), lan endi - saben pancet;
• DX = (1 / a) d (kapak + b), ngendi - pancet maneh, nanging ora nul;
• xdx = 1 / 2d (x ² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

Yen kita nimbang cilik general ngendi kita ngetung integral indefinite, conto bisa subsumed ing rumus umum w '(x) DX = dw (x).

conto:

• kudu golek ∫ (2S + 3) ² ds, ds = 1 / 2d (2S + 3)

∫ (2S + 3) ² ds = 1 / 2∫ (2S + 3) ² d (2S + 3) = (1/2) x ((2S + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) x (2S + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (coss) / coss = -ln | coss | + C.

bantuan online

Ing sawetara kasus, fault kang bisa dadi utawa kesed, utawa need urgent, sampeyan bisa nggunakake njedul online, utawa rodok, kanggo nggunakake kalkulator integral indefinite. Senadyan kerumitan nyoto lan alam kontrovèrsial ing integral, kaputusan tundhuk algoritma tartamtu, kang adhedhasar prinsip "yen ora ... banjur ...".

Mesthi, conto utamané ruwet kalkulator kuwi ora bakal Master, minangka ana kasus kang kaputusan wis golek artificially "dipeksa" dening ngenalke unsur tartamtu ing proses, amarga asil cara ketok tekan. Senadyan alam kontrovèrsial statement iki, iku bener, minangka matématika, ing asas, lan ilmu abstrak, lan adil sawijining utama nganggep perlu kanggo nguatake wates. Pancen, kanggo Gamelan roto-ing teori punika angel banget kanggo mindhah munggah lan mekar, supaya ora nganggep yen conto mecahaken integral indefinite, kang marang kita - iki ing dhuwur saka kesempatan. Nanging bali menyang sisih technical iku. Paling kanggo mriksa petungan, sampeyan bisa nggunakake layanan kang ditulis kanggo kita. Yen ana perlu kanggo pitungan otomatis ungkapan Komplek, banjur padha ora kudu Resor kanggo lunak liyane serius. Ngirim mbayar manungsa waé utamané ing lingkungan Matlab.

aplikasi

Kaputusan saka integral indefinite ing kawitan marketing misale jek rampung suwek saka kasunyatan, amarga iku angel weruh nggunakake ketok bidang. Pancen, langsung digunakake ing ngendi wae ora bisa, nanging lagi unsur penengah perlu ing proses mundur total saka solusi digunakake ing laku. Mangkono, integrasi saka turunan bali, mangkono aktif Agencies ing proses mecahaké pepadhan.
Ing siji, pepadhan iki duwe impact langsung ing kaputusan saka masalah mechanical, pitungan alur lan termal doyo - ing cendhak, kabeh sing dadi saiki lan mbentuk mangsa. conto langgeng integral, kang kita wis dianggep ndhuwur, mung ora pati penting ing kawitan marketing, minangka basa kanggo nindakake liyane lan liyane panemon anyar.